La Démonstration : cours explicité

LA DEMONSTRATION

I.ANALYSE

1) DISTINCTION AVEC ARGUMENTATION
Deux points communs :
- But : faire adhérer quelqu’un à un point de vue de façon convaincue
- Moyen : recours à la raison, la logique, diffèrent en cela de la persuasion
Différence : il existe différents modes d’argumentation, différents procédés argumentatifs dont le choix sera effectué en fonction du contexte. On adapte son argumentation à son interlocuteur.
Au contraire, la démonstration est invariable, et fonctionne selon des opérations logiques déterminées
DEF : démonstration = procédé basé sur la déduction logique visant à montrer la vérité d’une assertion, par le biais d’un raisonnement mettant en œuvre la raison.
DEF : raisonnement = suite de propositions qui s’enchaînent les unes aux autres en respectant rigoureusement les règles de la logique.

2) QU’EST-CE-QU’UNE DEDUCTION ?
Etymologie : de ducere, conduire hors de, à partir de…
DEF : déduction = opération mentale qui conclut, d’une ou plusieurs prémisses, une proposition qui en est la conséquence logique.
Elle se fonde sur les règles de la logique.
DEF : logique = « l’art de bien conduire sa raison dans la connaissance des choses » (Arnauld et Nicole, Logique de Port-Royal , 1662)
= science déterminant les instruments d’une pensée vraie, et ordonnant la pensée humaine (logos) selon des rapports de cause à conséquence
La logique naît avec Aristote au –IVème siècle en tant que logique formelle, ce qu’a souligné Kant.
DEF : logique formelle = discipline qui étudie la forme du raisonnement indépendamment de son contenu.
Le modèle de ce type de logique est le syllogisme.
DEF : syllogisme = procédé déductif qui établit la nécessité d’une conclusion à partir de propositions déjà connues, les prémisses.
= « discours dans lequel, certaines choses étant posées, quelqu’autre chose en résulte nécessairement, par cela seul qu’elles sont posées » (Aristote, les Premières Analytiques)
La logique et son outil premier le syllogisme permettent d’assurer de la cohérence, de la consistance (= non-contradiction) de la forme ; assurent-ils de la vérité du contenu, de sa conformité au réel ?

II. DEMONTRER PERMET-IL DE DECOUVRIR DU REEL ?

A. PERMET D’ETABLIR CONSISTANCE + NECESSITE D’UNE CONCLUSION=>SA CERTITUDE

1) LA DEMONSTRATION PEUT ETRE LE SEUL MOYEN DE SAVOIR QUELQUE CHOSE
EX : dans ses Eléments, Euclide a démontré l’incommensurabilité de la diagonale d’un carré.

2) PERMET DE VALIDER DES ENONCES INCERTAINS ; LE RAISONNEMENT PAR L’ABSURDE
La démonstration par l’absurde consiste à prouver la vérité d’une proposition en démontrant que de sa proposition contraire découle logiquement des propositions évidemment fausses. Ainsi, en supposant son négatif dont je démontre la fausseté, je peux valider une proposition incertaine.

B. EST-ELLE UNE GARANTIE DE VERITE ?
On peut donner deux significations de la vérité :
- 1 : conformité aux lois de la pensée, de la logique
- 2 ; conformité à un réel extérieur à la pensée.
La démonstration, qui se fonde sur la déduction logique, valide bien la première définition, mais pas nécessairement la deuxième.
Contre-exemple : Un cheval bon marché est rare, or ce qui est rare est cher, donc un cheval bon marché est cher.
Les règles rigoureuses de la logique sont respectées, la démonstration est juste. Mais la cohérence logique, qui concerne la forme, n’assure pas du rapport au réel, qui réside dans le contenu.
Exemple caricatural : Tout quadrupède est un âne, or toute baleine est un quadrupède, donc toute baleine est un âne.
L’enchaînement se fait logiquement, mais la conclusion n’est pas conforme au réel, parce que les deux prémisses ne le sont pas non plus. Les mots ne sont pas des lettres creuses, ils renvoient à une réalité. Avec les maths, a=b, or b=c, donc a=c est toujours vrai ; mais l’introduction des mots empêchent la démonstration d’assurer de la vérité du contenu.

III. PEUT-ON TOUT DEMONTRER ?

A.QUE FAUDRAIT-IL POUR TOUT DEMONTRER ?
Pascal, dans De l’esprit géométrique, décrit ce qui serait pour la démonstration « une méthode encore plus éminente et plus accomplie » que celle pour l’heure utilisée, mais qui est inaccessible. Deux conditions à cette méthode :
- « n’employer aucun terme dont on n’eût auparavant expliqué nettement le sens »
- « n’avancer jamais aucune proposition qu’on ne démontrât par des vérités déjà connues »
C’est-à-dire : « définir tous les termes et prouver toutes les propositions ». Mais ces deux tâches sont irréalisables, car initialement, il faut bien se baser sur des vérités admises ; il semble impossible de toute démontrer, bien que des scientifiques aient tenté d’établir le contraire.

B. DEUX TENTATIVES DE TOUT DEMONTRER : MATHS REDUITS A LOGIQUE

1) LA TENTATIVE D’HILBERT EN GEOMETRIE
David Hilbert (1862-1943), auteur de Les fondements de la géométrie, se range dans la lignée de l’axiomatique. Ce mouvement vise à l’élaboration de théories mathématiques totalement formalisée, dépourvues des dimensions concrètes ou intuitives qui seraient handicapantes pour la liberté mathématique. Les relations entre les énoncés et leur logique prévalent sur leur vérité matérielle. Plus spécifiquement, Hilbert a tenté de réduire au maximum l’équivocité des symboles, en les débarrassant de leurs significations concrètes. Ainsi formalisées, les mathématiques devraient être à même de tout démontrer.

2) LA TENTATIVE DE FREGE EN ARITHMETIQUE
Frege (1848-1925) était également partisan du logicisme, et tendait à la formalisation des mathématiques. Il a tenté de redéfinir les nombres de façon purement conceptuelle, et a voulu leur appliquer la propriété d’extension des concepts.

3) LE PARADOXE DE RUSSEL
Russel (1872-1970) a démontré que les maths n’étaient pas réductibles à la logique, qu’ils n’étaient pas entièrement formalisables. Le paradoxe qui porte sur son nom se base sur le problème de l’extension d’un concept.
DEF : l’extension d’un concept est l’ensemble des objets auxquels ce concept peut s’appliquer.

Russel pose le concept suivant : « être un ensemble qui n’est pas élément de lui-même », ou autrement formulé « un ensemble d’éléments est de nature différente de ce qu’il regroupe, et n’a aucune caractéristique commune avec ces éléments ».
Exemple éclaircissant : l’ensemble des nombres entiers n’est pas un nombre entier.
Russel a ensuite examiné l’extension de ce concept, c’est-à-dire l’ensemble des ensembles qui sont de natures différentes de ce qu’ils regroupent. Nommons cet ensemble général E.

E, d’après le concept, doit être de nature différente de ce qu’il regroupe. Or, il regroupe des ensembles qui ont pour nature d’être de nature différente de ce qu’ils regroupent. Par conséquent, E doit être de nature semblable à ce qu’il regroupe. Or, il regroupe des ensembles qui ont pour nature d’être différents de ce qu’ils regroupent. Par conséquent, il doit être de nature différente de ce qu’il regroupe, et nous voilà revenus à la case départ.

On est en présence d’une belle contraction formelle, qui prouve que les maths ne sont pas réductibles à la logique. Nulle situation mathématique ne peut se résoudre « de l’intérieur », il faut avoir recours à des éléments extérieurs, notion qu’a approfondie Gödel.

4) LE THEOREME DE GÖDEL
On appelle ce théorème « théorème d’incomplétude ». Kurt Gödel (1906-1978) y démontre que tout n’est pas démontrable en mathématiques. Il existe des énoncés dits indécidables, c’est-à-dire que ni eux ni leur contraire ne peuvent être démontrés. C’est sur la base de ces énoncés indémontrables que se construisent les mathématiques.

CONCLUSION
- On ne peut tout démontrer de l’intérieur d’un système, on aura nécessairement recours à des axiomes
- La consistance d’un énoncé ne suffit pas à assurer de sa vérité, de sa conformité au réel
- L’intuition (à l’antipode de la raison) reste une étape indispensable des mathématiques, qui ne sont pas pure logique. Pascal : « Les principes se sentent, les propositions se concluent et le tout avec certitude quoique par différentes voies. » (Pensées)

Alors comme vous pouvez le constater, j'ai renoncé à l'explictation de certains paragraphes, surtout celui sur l'incommensurabilité du carré et celui sur la tentative de Frege. Pour ma défense, j'ai jugé qu'on pourrait à la rigueur se passer au bac du déroulement de la dite démonstration ou de la dite théorie. Voilou, gros gros bisous, bonnes vacances !!!

Petit lien vers un site assez bien fait qui explicite les questions des tentatives de Hilbert et du théorème d'incomplétude de Gödel. J'en profite pour rajouter aux cours, pour ceux qui auront la flegme d'aller voir le site, que Gödel a également prouvé que certaines théories étaient inconsistantes, car permettant de prouver une chose et son contraire.
Voilou le lien : plus pour démonstration
des bisous !